Trigonometrie

Trigonometrie plană

În multe aplicații ale trigonometriei problema esențială este soluția triunghiurilor. Dacă se cunosc suficiente laturi și unghiuri, se pot calcula părțile și unghiurile rămase, precum și aria, iar triunghiul este apoi rezolvat. Triunghiurile pot fi rezolvate prin legea sinelor și legea cosinusilor. Pentru a asigura simetria în scrierea acestor legi, unghiurile triunghiului au literele A, B și C, iar lungimile laturilor opuse unghiurilor sunt inscripționate cu litera a, b și c.

Legea sinilor este exprimată ca o egalitate care implică trei funcții sinusoidale, în timp ce legea cosinilor este o identificare a cosinusului cu o expresie algebrică formată din lungimile laturilor opuse unghiurilor corespunzătoare. Pentru a rezolva un triunghi, toate valorile cunoscute sunt substituite în ecuații care exprimă legile sinelor și cosinusilor, iar ecuațiile sunt rezolvate pentru cantitățile necunoscute. De exemplu, legea sinelor este folosită atunci când sunt cunoscute două unghiuri și o latură sau când sunt cunoscute două laturi și un unghi opus uneia. În mod similar, legea cosinusului este adecvată atunci când se cunosc două laturi și un unghi inclus sau se cunosc trei laturi.

Textele despre trigonometrie derivă alte formule pentru rezolvarea triunghiurilor și pentru verificarea soluției. Manualele mai vechi includeau deseori formule adecvate în special pentru calculul logaritmic. Totuși, manualele mai noi includ frecvent instrucțiuni de calculator simple pentru utilizare cu un program simbolic matematic.

Trigonometrie sferică

Trigonometria sferică implică studiul triunghiurilor sferice, care sunt formate prin intersecția a trei arcuri de cerc mari pe suprafața unei sfere. Triunghiurile sferice au fost supuse unui studiu intens din antichitate datorită utilității lor în navigație, cartografie și astronomie. (Vezi mai sus Pasajul către Europa.)

Unghiurile unui triunghi sferic sunt definite prin unghiul de intersecție a liniilor tangente corespunzătoare cu fiecare vertex. Suma unghiurilor unui triunghi sferic este întotdeauna mai mare decât suma unghiurilor dintr-un triunghi plan (π radian, echivalent cu două unghiuri drepte). Cantitatea prin care fiecare triunghi sferic depășește două unghiuri drepte (în radieni) este cunoscută ca excesul său sferic. Zona unui triunghi sferic este dată de produsul excesului său sferic E și de pătratul razei r a sferei pe care se află - în simboluri, Er ².

Prin conectarea vârfurilor unui triunghi sferic cu centrul O al sferei pe care se află, se formează un „unghi” special cunoscut sub numele de unghi triedic. Unghiurile centrale (cunoscute și sub denumirea de unghiuri diedre) între fiecare pereche de segmente de linie OA, OB și OC sunt etichetate α, β și γ pentru a corespunde laturilor (arcurilor) triunghiului sferic etichetat a, b și c, respectiv. Deoarece o funcție trigonometrică a unui unghi central și arcul său corespunzător au aceeași valoare, formulele de trigonometrie sferice sunt date în termeni de unghiurile sferice A, B și C și, în mod interschimbabil, în ceea ce privește arcurile a, b, și c și unghiurile diedre α, β și γ. Mai mult, majoritatea formulelor din trigonometria plană au o reprezentare analogă în trigonometria sferică. De exemplu, există o lege sferică a sinelor și o lege sferică a cosinilor.

Așa cum a fost descris pentru un triunghi plan, valorile cunoscute care implică un triunghi sferic sunt substituite în formulele analogice de trigonometrie, cum ar fi legile sinelor și cosinuselor, iar ecuațiile rezultate sunt apoi rezolvate pentru cantitățile necunoscute.

Multe alte relații există între laturile și unghiurile unui triunghi sferic. De menționat sunt analogiile lui Napier (derivabile din formulele sferice de tip trigonometrie cu jumătate de unghi sau cu jumătate de latură), care sunt deosebit de potrivite pentru utilizarea cu tabelele logaritmice.

Trigonometrie analitică

Trigonometria analitică combină utilizarea unui sistem de coordonate, cum ar fi sistemul de coordonate carteziene utilizat în geometria analitică, cu manipularea algebrică a diferitelor funcții de trigonometrie pentru a obține formule utile pentru aplicațiile științifice și de inginerie.

Funcțiile trigonometrice ale unei variabile reale x sunt definite cu ajutorul funcțiilor trigonometrice ale unui unghi. De exemplu, sin x în care x este un număr real este definit să aibă valoarea sinusului unghiului care conține radiani x. Definiții similare sunt făcute pentru celelalte cinci funcții trigonometrice ale variabilei reale x. Aceste funcții satisfac relațiile trigonometrice menționate anterior cu A, B, 90 ° și 360 ° înlocuite cu x, y, ^π / ₂ și, respectiv, radianii 2π. Perioada minimă de tan x și cot x este π, iar din celelalte patru funcții este 2π.

În calcul se arată că sin x și cos x sunt sume de serii de putere. Aceste serii pot fi utilizate pentru a calcula sinusul și cosinusul din orice unghi. De exemplu, pentru a calcula sinusul de 10 °, este necesar să se găsească valoarea sin ^π / _18, deoarece 10 ° este unghiul care conține ^π / ₁₈ radieni. Când ^π / ₁₈ este înlocuit în serie cu sin x, se constată că primii doi termeni dau 0,17365, ceea ce este corect la cinci zecimale pentru sinusul de 10 °. Luând destui termeni ai seriei, orice număr de zecimale poate fi obținut corect. Tabelele funcțiilor pot fi utilizate pentru a schița graficele funcțiilor.

Fiecare funcție trigonometrică are o funcție inversă, adică o funcție care „anulează” funcția inițială. De exemplu, funcția inversă pentru funcția sinusoidală este scrisă arcsin sau sin ⁻¹, astfel sin ⁻¹ (sin x) = sin (sin ⁻¹ x) = x. Celelalte funcții inverse trigonometrice sunt definite în mod similar.

Coordonate și transformarea coordonatelor