Direcția matematică de câmp

Câmpul de direcție, un mod de a reprezenta grafic soluțiile unei ecuații diferențiale de prim ordin, fără a rezolva de fapt ecuația. Ecuația y ′ = f (x, y) dă o direcție, y ′, asociată cu fiecare punct (x, y) din planul care trebuie satisfăcut de orice curbă a soluției care trece prin acel punct. Câmpul de direcție este definit ca colecția de segmente de linii mici care trec prin diferite puncte având o pantă care va satisface ecuația diferențială dată (vezi Grafic) în acel punct. Familia reală de curbe (soluții ale ecuației diferențiale) trebuie să aibă o direcție în fiecare punct care să fie de acord cu cea a segmentului de linie al câmpului de direcție în acel punct,astfel încât această metodă este valoroasă pentru a câștiga o anumită senzație pentru comportamentul soluțiilor în cazurile în care ecuația este dificil de rezolvat sau în care soluția este o funcție complicată. Adesea este util când desenăm câmpul de direcție pentru a determina liniile sau curbele, numite izocline, pe care panta segmentelor de câmp de direcție este constantă. De exemplu, în ecuația y ′ = x + y panta va avea valoarea constantă k când k = x + y, sau când y = -x + k; adică izoclinele sunt linii drepte cu o pantă de -1. Aceste linii pot fi apoi schițate ușor pentru a ajuta la construirea câmpului de direcție (a se vedea graficul). Familia reală de soluții în acest caz este y = aepe care panta segmentelor de câmp de direcție este constantă. De exemplu, în ecuația y ′ = x + y panta va avea valoarea constantă k când k = x + y, sau când y = -x + k; adică izoclinele sunt linii drepte cu o pantă de -1. Aceste linii pot fi apoi schițate ușor pentru a ajuta la construirea câmpului de direcție (a se vedea graficul). Familia reală de soluții în acest caz este y = aepe care panta segmentelor de câmp de direcție este constantă. De exemplu, în ecuația y ′ = x + y panta va avea valoarea constantă k când k = x + y, sau când y = -x + k; adică izoclinele sunt linii drepte cu o pantă de -1. Aceste linii pot fi apoi schițate ușor pentru a ajuta la construirea câmpului de direcție (a se vedea graficul). Familia reală de soluții în acest caz este y = ae^x - x - 1 pentru orice constantă a, așa cum se găsește prin metodele ecuațiilor diferențiale.